A logikai feladatok megoldásához a Boole-algebrát használjuk, amely lehetőséget ad arra, hogy a logikai kapcsolatokat matematikai úton kezeljük. A Boole-algebra alaptétele szerint ugyanis bármely bonyolult logikai kapcsolat kifejezhető megfelelően megválasztott alapműveletek (alapoperátorok) segítségével. Ezeket az alapműveleteket tekintjük át a következőkben.

 

Negáció (tagadás, invertálás)

Negáláskor valamely esemény, logikai változó vagy logikai függvény igazságtartalmának ellenkezőjét vesszük figyelembe. Egyváltozós művelet, amellyel egy logikai jel 0 és 1 értékét felcseréljük, invertáljuk. Az invertált változót negált változónak nevezzük. Az invertálást megvalósító áramkör az INVERTER.

Algebrai alakja: Y = 

Igazságtáblázat:  

Inverter jelölése:

 

 

 

 

Logikai VAGY kapcsolat

 

A VAGY kapcsolatban (diszjunkció), ha bármely változó 1–es értékű, akkor a függvény értéke 1-es lesz. Ahhoz, hogy függvényérték zérus legyen, minden változónak 0-nak kell lennie. A VAGY kapcsolat műveleti jele az algebrában használatos “+” jel.

Igazságtáblázat:

 

VAGY kapu jelölése:

A logikai ÉS kapcsolat

 

Az ÉS kapcsolat (konjukció) eredménye akkor 1-es, ha valamennyi változó egyidejűleg 1-es. Az ÉS kapcsolat műveleti jele a szorzópont.

Igazságtáblázat:

ÉS kapu jelölése:

 

 

A Boole-algebra alaptételei, szabályai

Röviden áttekintjük a logikai algebra alapműveleteire vonatkozó szabályokat, tételeket, amelyek általában ismertek, “maguktól értetődőek” és amelyeket szinte nap mint nap felhasználunk. Nem tekintjük célnak a teljes axiómarendszer precíz tárgyalását, csak a gyakorlatban is felhasznált azonosságokat, szabályokat soroljuk fel.

-A tagadás törvénye

=1 =0 (páros számú tagadás eredeti értéket eredményez, páratlan számú pedig

=0 =1 negáltat)
 

-A “0” és az “1” kapcsolatai (amelyek az igazságtáblából következnek):

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

 

- Egy változó és egy állandó érték logikai kapcsolata

  A+0=A
  A+1=1 (Ezt sokszor használhatjuk egyszerűsítésre: bármilyen hosszú logikai egyenletben, amihez 1 járul VAGY kapcsolatban, abból végeredményként 1 lesz!)
  A*0=0
  A*1=A

 

• Műveletek egyazon változóval
A+A+…+A=A

A*A*…*A=A (sokszor alkalmas függvény rövidítésére)

+A=1 (Vagy a változó vagy a negáltja biztosan igaz)

*A=0 (egyszerre nem lehet igaz a változó és a negáltja)

 

• Kommutatív tulajdonság (felcserélhetőség)
A+B=B+A (A tényezők, tagok sorrendje nem befolyásolja az igazságtartalmat)

AB=BA

 

• Asszociatív tulajdonság (“társíthatóság”)
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B=A+B+C

A(BC)=(AB)C=(AC)B=ABC

(Vagyis kettőnél több változó esetén azonos művelet végzésekor közömbös, hogy először mely változókat vonunk be és melyeket később, a sorrendiség nem játszik szerepet, a zárójelek ilyenkor feleslegesek.

 

• Disztributív tulajdonság (zárójeles műveletek)
A(B+C)=AB+AC ( A zárójel “beszorozható”)

A+(BC)=(A+B)(A+C) (A zárójel “be-összegelhető”)

 

• Abszorbciós (elnyelési) tételek
A+AB+ABC+…=A hiszen A(1+B+BC…)=A

A(A+B)(A+B+C)=A mert A(A+B)=AA+AB=A(1+B)=A és így tovább…

 

• De MORGAN szabályok (negálási szabályok)
=*

=+

Vagyis az ÉS kapcsolat negáltja VAGY kapcsolat, amelyben a változók negált értékkel szerepelnek. A VAGY kapcsolat negáltja ÉS kapcsolat, szintén negált változókkal (tehát negációnál a “műveletet” is és a változót is negálni kell!)